辽宁科技大学2023年硕士研究生自命题考试大纲：《高等代数》 _考研各个科目的分值

　　辽宁科技大学 2023 年全国硕士研究生入学考试

　　《高等代数》考试大纲

　　科目代码：801

　　I.考试性质

　　《高等代数》是为辽宁科技大学理学院数学一级硕士点各专业招收硕士研究生而设置的 具有选拔性质的全国统一入学考试科目，其目的是科学、公平、有效地测试学生掌握大学本 科阶段高等代数课程的基本知识、基本理论，以及运用其基础理论和方法分析问题和解决问 题的能力，评价的标准是高等学校本科相关专业毕业生能达到的及格或及格以上水平，以保 证被录取者具有数学学科的基本素质，并有利于其他高等院校和科研院所相关专业的择优选 拔。

　　II.考查目标

　　《高等代数》考试内容涵盖多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、线性变换、 欧几里德空间等。

　　要求考生：

　　1 、掌握多项式的运算及性质;

　　2 、掌握行列式的相关概念及各种计算方法;

　　3 、掌握一般线性方程组的相关理论;

　　4 、掌握矩阵相关概念及运算;

　　5 、掌握二次型的相关理论及运算;

　　6 、掌握线性空间及线性变换相关概念及理论;

　　7 、掌握欧氏空间的概念及计算。

　　Ⅲ.考试形式和试卷结构

　　1 、试卷满分及考试时间

　　本试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟

　　2 、答题方式

　　答题方式为闭卷，笔试。

　　3 、试卷内容结构

　　多项式理论约20 分;行列式计算约 15 分;一般线性方程组约20 分;矩阵及其运算约 20 分;二次型约20 分;线性空间约20 分;线性变换约 15 分、欧氏空间约 20 分。

　　Ⅳ.试卷题型结构

　　题型包括计算题、证明题等。

　　Ⅴ.考查内容

　　(1) 多项式的运算及性质：掌握多项式的运算及性质;掌握最大公因式的概念与求法 (辗转相除法) ;了解代数基本定理、复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解 定理。掌握求整系数多项式有理根的理论与方法;了解 Eisenstein 判别法。

　　(2) 行列式：了解排列、排列的逆序数、偶排列与奇排列的概念与性质;了解 n 阶行 列式的定义;掌握用行列式的性质计算行列式;掌握行列式按行按列展开的法则;了解克拉 默法则。

　　(3) 一般线性方程组理论：熟练掌握利用初等变换 (消元法) 解线性方程组的方法; 掌握齐次线性方程组有非零解的条件;熟练掌握向量组线性相关、线性无关的概念及性质; 会求向量组的极大线性无关组与秩。掌握线性方程组有解判别定理;掌握齐次线性方程组解 的性质及基础解系的概念;熟练掌握求齐次线性方程组基础解系的方法;掌握非齐次线性方 程组解的结构定理。

　　(4) 矩阵相关概念及计算：熟练掌握矩阵的加法、乘法、数量乘法及矩阵的转置定义 及性质;掌握矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系;掌握矩阵可逆及逆矩 阵的概念;了解伴随矩阵与逆矩阵的关系;了解可逆矩阵与矩阵乘积的逆与秩的关系;了解 分块矩阵及分块矩阵的运算规律及应用;熟练掌握求逆矩阵的方法。

　　(5) 二次型相关理论及计算：掌握矩阵合同的概念及性质。掌握用非退化线性替换化 二次型为标准形的方法;了解复二次型、实二次型的规范形及规范形的唯一性 (惯性定理)。 掌握正定二次型及正定矩阵的概念;了解二次型为正定的充分必要条件及正定矩阵的性质。

　　(6) 线性空间及线性变换相关理论及计算：了解线性空间的定义与简单性质;掌握线 性空间维数、基与坐标的概念;掌握过渡矩阵的概念及坐标变换公式;了解子空间的概念; 掌握线性空间的非空子集成为子空间的条件;掌握由生成子空间概念及性质;了解子空间交 与和的概念;了解维数公式;了解直和的概念;掌握直和的充分必要条件。掌握同构概念及 性质;了解数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件。掌握线性变换的概念;熟练掌 握线性变换在某基下的矩阵的概念;掌握用线性变换矩阵计算向量的象的坐标的公式;线性 变换在两组基下的矩阵之间的关系;相似矩阵的概念与性质;熟练掌握特征值与特征向量的 概念以及求特征值与特征向量的方法;了解特征子空间概念;了解 Hamilton-Caylay 定理; 掌握 维线性空间的一个线性变换在某基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件及判别办法; 掌握矩阵相似于一个对角矩阵的条件;掌握线性变换的值域与核的概念及主要性质;了解不 变子空间的概念及主要性质。

　　(7) 欧氏空间的概念及计算：掌握欧几里得空间的定义及基本性质、向量长度的概念、 单位向量、柯西-布涅柯夫斯基不等式、夹角的概念;正交向量及性质;熟练掌握度量矩阵 的概念。掌握标准正交基定义;熟练掌握施密特正交化过程;了解欧氏空间同构的概念及条 件;掌握正交变换方法。

　　VI.参考书目

　　1、《高等代数》，王萼芳，石生明高等教育出版社，第 4 版。

　　2、《高等代数》，张禾瑞、耗炳心新，高等教育出版社，第 5 版。

　　3、《高等代数辅导与习题解答》，王萼芳、石生明，高等教育技术出版社。