2021年考研数学二真题，2021年考研数学二真题答案及解析
大家好！本文和大家分享一道2021年高考数学真题。这道题是当年全国甲卷理科数学的第18题，也就是第二道解答题。这道题考查的是等差数列的概念及相关性质，题目的难度其实不算大，但是题干基本没有给出任何数字，这就吓到了不少学生，很多学生也是交了白卷。
这道题共有三种情形。
情形一：选择①②为条件来证明③。
由于数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有a1＞0、d＞0。又√Sn为等差数列，那么就有2√S2=√S1+√S3，又Sn为数列{an}的前n项和，则S1=a1，S2=a1+a2=2a1+d，S3=a1+a2+a3=3a1+3d。所以有2√(2a1+d)=√a1+√(3a1+3d)，两边平方，整理后再平方，从而可以得到d=2a1，所以a2=a1+d=3a1。
情形二：选择①③为条件证明②。
由数列{an}为各项均为正数的等差数列可知，a1＞0、d＞0。由a2=3a1可得d=2a1，故an=a1+(n-1)d=(2n-1)a1。
由于Sn是数列{an}的前n项和，则Sn=n(a1+an)/2=n^2a1，所以√Sn=n√a1，√S(n+1)=(n+1)√a1，所以√S(n+1)-√Sn=√a1。对于一个确定的数列来说，首项a1为定值，所以根据等差数列的定义可知数列{√Sn}是等差数列。
情形三：选择②③为条件证明①。
由于数列{√Sn}为等差数列，所以可设√Sn=An+B，其中A＞0，则Sn=(An+B)^2。由Sn为数列{an}的前n项和可得：当n=1时，a1=S1=(A+B)^2；当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(An+B)^2-(An-A+B)^2=A(2An-A+2B)。
又a2=3a1，则有A(3A+2B)=(A+B)^2，解得：B=0或B=-4A/3。
当B=0时，a1=A^2，an=A^2(2n-1)，则当n≥2时，an-a(n-1)=2A^2，故此时数列{an}为等差数列。
当B=-4A/3时，√S1=A+B=A-4A/3=-A/3＜0，显然是不成立的。
所以，综上，当数列{√Sn}为等差数列且a2=3a1时，数列{an}为等差数列。
这一道题的难点在于题干可用的数据很少，而同学们更习惯有具体数字的题目，于是导致很多同学没有做出来。
2021年考研数学二参考(2021年考研数学二参考答案及解析)
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